Secuencia de actividades sobre geometría plana.
- Ángulos
- Teorema de Pitágoras
- Teorema de Tales y semejanza
- Perímetros y áreas
- Estrategias geométricas
1
En el ejemplo del video, si α = 45º, ¿cuántos grados tendrá el ángulo β? Escriba sólo el número
2
Siguiendo con el ejemplo anterior, si α = 45º, ¿cuál es el valor del ángulo delta, δ, en grados? Indique sólo el número
3
¿Qué puede decir respecto de β y de δ?
Selecciona una o varias respuestas
4
Continuando con el ejemplo del video, si α = 30º, ¿cuál es el valor del ángulo θ en grados? Indique sólo el número
5
Para el mismo ejemplo donde α = 30º, ¿cuál es el valor en grados del ángulo μ? Indique sólo el número.
Selecciona una o varias respuestas
Selecciona una o varias respuestas
Selecciona una o varias respuestas
Selecciona una o varias respuestas
10
Si ε = 25º, entonces el resultado de 2α + 3θ - γ es (indique sólo el número):
11
El teorema de Pitágoras es válido
14
Si se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12, ¿cuál es el valor de la hipotenusa? Indique sólo el número.
15
Se tiene un triángulo rectángulo donde su hipotenusa vale 89 y uno de sus catetos, 39. ¿Cuál es el área del triángulo?
16
Distintos triángulos serán semejantes si tienen
17
Se tienen dos triángulos semejantes A y B. Los lados de A valen 5, 7 y 12. Los lados de B valen 15, 36 y...
18
Si el triángulo ABC es semejante a AB'C', podemos decir que, si la proporción entre sus lados es constante, entonces:
19
Dado un cierto triángulo, es posible obtener un triángulo semejante trazando...
20
La razón 270/6 = 45. Seleccione TODAS las opciones válidas. Esto implica que:
Selecciona una o varias respuestas
21
En el ejemplo del video, si la altura del árbol es de 5 metros, indique la altura en metros del edificio. Indique sólo el número.
22
En el ejemplo, si la sombra de una persona de 1,80m es de 3,7m y la sombra de la Estatua de la Libertad es de 188,7 m., determine la altura en metros de la Estatua de la Libertad. ATENCIÓN: redondee al entero más próximo e indique sólo el número.
23
¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de 7 cm de lado? Indique sólo el número
24
¿Cuál es el área de un cuadrado de 11 pies de lado? Indique sólo el número.
25
Marquue todas las opciones correctas: la altura de un triángulo
Selecciona una o varias respuestas
26
El área de un triángulo equivale:
27
Se tiene un rectángulo de 6x9. El área de un triángulo cuya base y altura coincide con las del rectángulo es
28
En un paralelogramo de lados B y L, el área puede calcularse como
29
Marque todas las afirmaciones correctas:
Selecciona una o varias respuestas
30
Marque TODAS las opciones correctas:
Selecciona una o varias respuestas
31
El área de un rombo equivale a
32
En un trapecio de base mayor B = 20, base menor b = 12 y altura h = 6, indique el área del trapecio
33
Un polígono regular de "n" lados puede descomponerse
34
Marque TODAS las opciones correctas: Para un polígono regular de 'n' lados (n > 3)
Selecciona una o varias respuestas
35
Un polígono regular de 'n' lados se descompone en 'n' triángulos. El apotema (altura) divide a esos triángulos en dos triángulos rectángulos iguales, donde:
36
Marque TODAS las correctas. Para el CASO PARTICULAR de un HEXÁGONO REGULAR, se cumple que:
Selecciona una o varias respuestas
37
El número π (Pi) se define como la relación entre
38
El perímetro P de una circunferencia puede deducirse entonces como
39
Para una circunferencia de radio R = 20,38 cm, ¿cuál es la longitud de un sector circular que abarca una cuarta parte de la circunferencia? ATENCIÓN: Indique solo el número y redondee al entero más próximo.
40
Siguiendo con el ejemplo anterior, ¿cuánto mide el ángulo que abarca un arco de circunferencia que barre 1/4 de una circunferencia? Indique sólo el número en grados.
41
Se tiene una circunferencia de radio R = 45. ¿Cuál es la longitud del arco de 23º? ATENCIÓN: Indique sólo el número y redondee al entero más próximo.
42
¿Cuál es el área de un sector circular de radio R = 36 que abarca 42º? ATENCIÓN: Indique sólo el número y redondee al entero más próximo.
43
En el ejemplo del video, el área sombreada será igual a:
44
En el ejemplo, si L =4, ¿cuánto vale R?
45
En el ejemplo del video, si R = 4, ¿cuánto vale L?
46
Siguiendo el ejemplo del video, ¿cuál es el valor del lado?
47
¿Cuál es la expresión para el cálculo del área sombreada?
48
Para figuras cuya forma es irregular, si quiero hallar su área
Explicación
Si α y β son suplementarios, α + β = 180º. Por tanto, β = 180 - 45. Entonces β = 135º.
Como α y δ son suplementarios, α + δ = 180º. Por tanto, si α = 45º entonces δ = 135º
Si α + β = 180 y α + δ = 180, entonces β = δ siempre, sin importar el valor de α.
Si α = 30º, entonces β = 150º. Como β = θ, entonces θ = 150º.
Como α = γ = λ = μ, entonces μ = 30º.
β y θ son ángulos alternos externos.
α y γ son ángulos opuestos por el vértice.
ε y μ son ángulos suplementarios.
λ y γ son ángulos alternos internos.
ε = θ = 25º y α = γ = 155º. Por tanto 2α + 3θ - γ = 2x155º + 3x25º - 155º = 310º + 75º - 155º = 230º
El Teorema de Pitágoras es válido para triángulos rectángulos
Los catetos son dos lados de un triángulo rectángulo, cuya unión forma un ángulo recto.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Por ende, no forma parte del ángulo recto (lo forman los catetos). Es, además, el lado mayor de un triángulo rectángulo.
h^2 = 5^2 + 12^2. Por tanto, h = raíz(169) = 13
El área de un triángulo es A = (Bxh)/2 donde B : base y h : altura. En un triángulo rectángulo, B y h son los catetos.
Por Pitágoras, los catetos valen 39 y 80, entonces el área vale 1560.
Para que distintos triángulos sean SEMEJANTES, sus lados deben ser proporcionales (es decir, deben guardar la misma relación). Para que esto se cumpla, TODOS SUS ÁNGULOS deben ser IGUALES.
Si ambos triángulos son semejantes, y los lados de B son el triple que los de A (15 = 3x5, 36 = 3x12) entonces los lados de B son 15, 36 y 21.
Como ambos triángulos son SEMEJANTES, la RELACIÓN o PROPORCIÓN entre sus lados es la misma para todos los lados. La relación entre lados no es más que el COCIENTE entre dos lados, por tanto (AB)/(AB') = (BC)/(BC')
Dado un cierto triángulo, es posible obtener un triángulo semejante trazando una recta PARALELA a uno de sus lados. Este es el enunciado del Teorema de Tales.
Como la RAZÓN entre la distancia al edificio y la distancia al árbol es 45, la distancia al edificio es 45 VECES MAYOR que la distancia al árbol.
Como ambos triángulos son SEMEJANTES, podemos afirmar que la altura del edificio es 45 VECES MAYOR que la altura del árbol.
Como ambos triángulos son semejantes y la razón entre sus lados es 45, entonces 5x45 = 225. Por tanto, la altura del edificio es de 225 metros.
Por semejanza de triángulos, la razón entre las sombras es (188,7/3,7) = 51, es la misma que la razón entre las alturas. Entonces 1,8x51 = 91,8 m. Redondeando, 92.
El PERÍMETRO es la longitud de una figura. Para un polígono será la suma de sus lados. Para un cuadrado, P = 7 + 7+ 7 +7 = 4x7 = 28.
El área de un cuadrado es A = LxL = L^2.
Entonces, A = 11x11 = 121.
La altura de un triángulo puede trazarse en cualquier triángulo, y en el caso particular de los triángulos rectángulos, los catetos son alturas.
El área de un triángulo equivale a la mitad del área de un rectángulo con su misma base y altura.
El área del triángulo es A = Bxh/2.
Por tanto, A = 6x9/2 = 27.
A = Bxh, con h = altura.
El cuadrado es un caso particular de rombo. Podemos ver al cuadrado como un rombo rotado.
Todo cuadrado es un rectángulo; un rectángulo es un polígono de cuatro lados, donde todos los ángulos tienen 90º.
El cuadrado es un caso particular de rectángulo: un rectángulo cuyos lados son todos iguales.
Los rectángulos son casos particulares de paralelogramos: son paralelogramos (lados opuestos paralelos entre sí) cuyos ángulos internos son iguales (90º).
Los paralelogramos pueden descomponerse en triángulos rectángulos.
Los rombos también pueden descomponerse en triángulos rectángulos.
Un rombo de diagonales D (mayor) y d(menor) puede descomponerse en 4 triángulos rectángulos de catetos D/2 y d/2.
El área del rombo será la suma de las áreas de estos triángulos:
A = Dxd/2
A = (B + b)xh/2. Entonces A = (20+12)x6/2 = 96.
Un polígono regular de "n" lados puede descomponerse en "n" triángulos iguales.
Un polígono regular de 'n' lados se puede descomponer en 'n' triángulos. El APOTEMA es la ALTURA de cada uno de esos 'n' triángulos. La altura o apotema divide a cada triángulo en dos triángulos rectángulos, por lo que sería válido aplicar el Teorema de Pitágoras.
Un polígono regular de 'n' lados se descompone en 'n' triángulos. El apotema (altura) divide a esos triángulos en dos triángulos rectángulos iguales, donde la semidiagonal (D/2) es la hipotenusa, y los catetos son la mitad del lado (L/2) y el Apotema (Ap).
Para un hexágono regular se cumple que los 6 triángulos son equiláteros y, además, la semidiagonal es igual al lado (L) del polígono.
π = Perímetro / Diámetro. Esta relación se cumple para CUALQUIER circunferencia, sin importar su tamaño. De allí la importancia del número π
Si π = P/D, entonces P = πD.
La longitud del sector será 1/4 de la longitud de la circunferencia. Por tanto L = (1/4)x2πR = 32 cm.
Para el sector circular, sabemos que la longitud L = 2πRx(α/360) si α está en grados. Como 1/4 = α/360, α = 90º.
L = 2πR(α/360). Como R = 45 y α = 23º, L = 18 (redondeado).
A = πR^2(α/360). Como R = 36 y α = 42º, A = 475 (redondeado).
Asombreada = Acuadrado - Acircunf.
As = L^2 - πR^2
Para un hexágono, la semidiagonal es igual al lado (son los lados de los 6 triángulos equiláteros que componen el hexágono). Como R = D/2 (R es igual a la semidiagonal), entonces R = L = 4.
Por aplicación de Pitágoras:
(2R)^2 = L^2 + L^2
Despejando: L = √2R
Área sombreada As =(2R + 2r)xR - (πR^2 + πr^2)/2
En problemas de geometría, es importante tratar de simplificar los casos que tenemos y llevarlos a situaciones simples que podamos resolver con herramientas conocidas: áreas de figuras regulares, el uso de propiedades como Teorema de Pitágoras y semejanza de triángulos son de gran ayuda.
|
Crear