Interpolación polinómica (pasos a seguir)Versión en línea Ordena los pasos para hallar un polinomio que interpole a una función f(x) en el intervalo [S0,Sn] sobre el soporte S. por E 1 Polinomio interpolador (2º grado) mediante sistema de ecuaciones. Sustituir los puntos (del soporte) y sus respectivos valores de la función en la fórmula. Escribir fórmula general: P(x) = a0 + a1·x + a2·x^2 Construir el polinomio --> reescribir la fórmula, sustituyendo los coeficientes sacados. Resolver el sistema de ecuaciones obtenido, para sacar los coeficientes (a0, a1 y a2). 2 Polinomio interpolador (2º grado) mediante bases de Lagrange. Escribir fórmula general: P(x) = f(S0)·L0 + f(S1)·L1 + f(S2)·L2 Construir el polinomio --> sustituir bases y valores de la función en los puntos del soporte. Calcular bases de Lagrange (L0, L1 y L2) --> para ello emplear fórmula correspondiente. 3 Polinomio interpolador (2º grado) mediante bases de Newton. Escribir fórmula general: P(x) = f[S0] + f[S0,S1] · (x-S0) + f[S0,S1,S2] · (x-S0) · (x-S1) Construir el polinomio --> sustituir constantes y valores de los puntos del soporte en la fórmula. Calcular las constantes de las diferencias divididas mediante fórmula o la tabla de dif. divididas. 4 Creación de polinomio interpolador (de grado k+1) a partir de un polinomio (de grado k) conocido y un punto nuevo dado dentro del soporte. Construir el polinomio --> sustituir polinomio "P_k (x)" dado, cte y base de Newton en la fórmula. Escribir fórmula general: P_k+1 (x) = P_k (x) + cte_k+1 · N_k+1 (x) Calcular constante "cte_k+1" mediante tabla de las dif. divididas (si existe, reusar tabla previa) NOTA: "no importa el orden de los puntos del soporte en la tabla" Elección del método adecuado para la resolución del problema = método de Newton. Calcular la base de Newton "N_k+1 (x)", mediante la fórmula: (x-S0) · (x-S1) · ... · (x-Sk) 5 CONCEPTOS CLAVE (ordenar concepto con definición) El polinomio se considera válido para todos aquellos valores incluidos dentro del soporte: [S0,Sn]. El orden de las abscisas del soporte no influye en el valor de la cte: f[S0,S1,S2] = f[S1,S2,S0]. 6. Condiciones del soporte. 7. Propiedad de las diferencias divididas Técnica matemática para estimar valores desconocidos dentro de un rango de datos conocidos Se obtiene el mismo polinomio, empleando cualquiera de los 3 métodos. 5. ¿Qué es el soporte: S {S0,S1, ... , Sn} ? 4. Teorema de unicidad del polinomio interpolador. Determinar la expresión de un polinomio, de grado < ó = que n, tomando n + 1 valores prefijados. 8. ¿Cuál es la validez (aproximación buena) de un polinomio interpolador? 3. Métodos para obtener un polinomio interpolador Resolver sistema lineal de ecuaciones, usar fórmula de Lagrange ó usar fórmula de Newton. 2. Objetivo de la interpolación polinómica Los valores del soporte deben ser distintos entre sí, pero su orden no influye en el cálculo de P(x) Conjunto de datos conocidos (puntos de abcisas). 1. ¿Qué es la interpolación?
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