LIMITE ET CONTINUITE D’UNE FONCTION (1ere D Mathematique 3)Versión en línea
Vrai ou faux sur les fonctions continues
1
La continuité d'une fonction ne dépend pas de son domaine de définition.
2
Si f est continue sur un intervalle I, alors f est bornée sur tout sous-intervalle fermé et borné de I.
3
Tout polynôme est une fonction continue sur R et admet une primitive sur R sans conditions.
4
La composition f∘g est continue en x0 si g est continue en x0 et f est discontinue en g(x0).
5
Si f et g sont continues en a, alors f·g est continue en a.
6
Si f est continue sur [a,b], alors f n’atteint jamais de minimum ou maximum sur cet intervalle.
7
La continuité en un point a implique nécessairement que f est dérivable en a.
8
Si f est continue sur un ensemble I et g est continue sur J, alors f∘g est nécessairement continue sur l'image de J même si les domaines ne se croisent pas.
9
Si f est continue sur [a,b], alors f est bornée sur [a,b].
10
La somme de fonctions continues sur un intervalle ouvert est continue sur cet intervalle.
11
Le quotient de deux fonctions continues en a est nécessairement continu en a même si le dénominateur s'annule en a.
12
Pour tout a dans le domaine, lim_{x→a} f(x) = f(a) si et seulement si f est continue en a.
13
Une fonction constante est continue sur tout R.
14
Si f et g sont continues en a, alors f+g est continue en a.
15
La composition f∘g est continue en x0 même si g n'est pas continue en x0.
16
La limite en l'infini d'une fonction continue peut exister ou non selon la fonction; ce n'est pas imposé.
17
La fonction identité f(x) = x est continue sur R.
18
Si f et g sont continues sur R, alors f+g est continue sur R.
19
La prolongation par continuité en un point x0 hors du domaine est toujours possible sans que lim_{x→x0} f(x) existe.
20
La continuité est garantie pour toute fonction définie par morceaux sans vérification des limites à les jonctions.
21
La limite d'une fonction continue en a est égale à la valeur de la fonction en a.
22
Si f est continue en a, alors lim_{x→a} f(x) existe et peut être différent de f(a).
23
Si f est constante, alors f est continue en tout point de son domaine.
24
Une fonction qui est continue en tous les points rationnels est nécessairement continue en tous les réels.
25
Une fonction périodique est nécessairement continue sur tout son domaine.
26
Si g(a) ≠ 0 et f est continue en a, alors f/g est continue en a.
27
Le théorème des valeurs extrêmes affirme que si f est continue sur [a,b], alors f atteint ses valeurs minima et maxima.
28
La composition f∘g est continue en x0 si g est continue en x0 et f est continue en g(x0).
29
Une fonction continue sur R peut être non bornée sur tout intervalle infini sans exception.
30
Si f_n converge uniformément vers f sur I et que chaque f_n est continue sur I, alors f est continue sur I.
31
La limite en x → ∞ d'une fonction continue est toujours égale à 0.
32
Si f est continue en a et b est un opérateur non linéaire appliqué à f, alors b(f) est forcément continue en a.
33
La somme de deux fonctions continues en a est continue en a seulement si l'une des deux fonctions est constante près de a.
34
La limite d'une fonction continue en a existe et vaut f(a).
35
La continuité relative dépend uniquement des points de E et non des points hors de E.
36
La continuité est locale: si f est continue sur un voisinage de chaque point de E, alors f est continue sur E.
37
Si f est continue sur E et x0 est un point de E, alors lim_{x→x0, x∈E} f(x) = f(x0).
38
Une fonction continue sur un ensemble E donne des valeurs proches lorsque l’entrée varie légèrement dans E.
39
Si f est continue sur E, alors f est nécessairement linéaire.
40
Si f est continue sur E et E est un intervalle, alors f est continue sur tout sous-ensemble de E.
41
Si f est continue sur E et E est un intervalle fermé et borné (compact), alors f est uniformément continue sur E.
42
Si f est continue sur E et E est un intervalle ouvert, alors f est bornée sur E.
43
Si E est fermé et f continue sur E, alors la fonction limite en tout point d’E existe et vaut f en ce point.
44
Si f est continue sur E et g est continue sur E, alors fg est continue sur E.
45
La continuité de f sur E implique automatiquement que f est différentiable sur E.
46
La composition des fonctions continues est continue: si f est continue sur E et φ est continue sur l'image de E, alors φ∘f est continue sur E.
47
Si f est continue sur E et E est un sous-ensemble de R, alors f est continue sur E pour la topologie induite.
48
Si f est continue sur E et E est ouvert, alors f atteint nécessairement ses bornes sur E.
49
Si f est continue sur E, alors pour toute suite x_n ∈ E qui converge vers x ∈ E, on a f(x_n) → f(x).
50
Si E est connexe, alors toute fonction continue sur E est monotone.
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