La fonction partie enti`ere est continue sur R \ Z. Tous les entiers relatifs sont des réels en lesquels la fonction partie entière n’est pas continue.
Soit f une fonction de la variable réelle à valeurs réelles. Soit I un intervalle de R. Alors, si : • f est strictement monotone sur I • f est continue sur I Alors, pour tous les réels a et b appartenant `a I tels que a < b, tout réel compris entre f(a) et f(b) admet un unique antécèdent par f dans [a, b].
Regardez la vidéo de fonction continue par morceaux
https://www.youtube.com/watch?v=JdvOZJUkKWA
si : limx→x0 f(x) = f(x0) alors f est dite..................;
continuité d'une fonction composée page 6
Théorème de la bijection:
On suppose que f est définie au voisinage de x0, à droite et à gauche. Alors, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) f est continue en x0
Si les fonctions f et g sont continues sur I, alors il en est de même pour les fonctions :
Continuit´e de la fonction partie enti`ere
continue en xo
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Montrons que f : x → ln(x 2 + 1) est continue sur R. Nous savons que x → x 2 + 1 est continue sur R, `a valeurs dans R, car polynomiale. De plus, ∀x ∈ R, x2 >0 et donc, ∀x ∈ R, x2 + 1 >1 > 0. Donc, ∀x ∈ R, x2 + 1 ∈ R∗+. Or, x → ln(x) est continue sur R ∗+ (fonction de référence). Ainsi, par composition de fonctions continues, f est continue sur R.
si • d’une part, f est strictement monotone sur I • d’autre part, f est continue sur I alors, f réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle f(I)
Montrer qu'une fonction est continue sur R
• f + g • fg • λf De plus, si g ne s’annule pas sur I, alors f/g est continue sur I.
(ii) f est continue `a droite et `a gauche en x0
https://www.youtube.com/watch?v=xN3Z9gW5JEs
